方程（equation）在数学之中有着很高的地位，我们常见的有一次、二次和三次方程等等，并且我们还能通过部分方程的求根公式来进行求解方程的根。本文主要针对的是一般性的一元n次复系数方程，即是满足下图的方程：
那么由高斯定理可知，满足上式该n次系数方程的根就有且仅有n个。注意：根据伽罗瓦群理论，五次及五次以上方程没有求根公式，即不能以代数数的形式写出方程的根，但是不是说这种方程没有解，使用超越函数（如三角函数、对数函数等）还是可以表示该方程的解。但是有的时候我们求解某些方程过于繁琐，且存在约束条件的情况下并不需要完全求解方程，而且若是含有超越数（如圆周率π、自然常数e等）的方程，求解过程也会略显困难。因此人们想要另辟蹊径，想要找寻其他高效的方式来求解方程，在此期间涌现出了大量的求解***如：二分法、不动点迭代等。本文主要介绍另一种优化的不动点迭代法——牛顿迭代法（Newton-Iterative-Method）。
牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解，可见它的重要性。其***基本原理如下：
设f(x)∈C²[m，n]，对f(x)在x₀∈[m，n]领域内对其进行泰勒展开，得如下结果：
舍去二次项，得到f(x)的线性近似式：
这也是关于x₀这一点的切线方程，由此得到方程f(x)=0的近似解：
即可得出关于x的迭代格式：
在此给出关于牛顿法的几何意义：牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于f(x)的线性化近似函数是曲线y＝f(x)过点（x₀，f(x₀)）的切线而得名的，将该零点代之f(x)的近似方程以求的零点，即切线T与X轴交点的横坐标，真实的根值为X*，牛顿迭代法实质上是一种线性化***，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。
那么牛顿迭代法是收敛的吗？或者说是否对于任意的初始值x₀都能够保证该迭代的结果收敛到X*？下面将通过代数解析的方式来说明其收敛性：
将牛顿迭代式写成如下形式，即可获得的不动点迭代形式：
这样就可以应用不动点迭代的收敛原则，只须证明在根β附近的迭代函数是一个压缩映象，即可证明其收敛性。由于
这里的根β是单根，即f(β)=0且f'(β)≠0，于是：
由于γ(x)的连续性可知，存在一个领域（β-δ，β+δ)，对该领域内的任意x，都有|γ'(x)<q|，其中0＜q＜1，因此γ(x)为区间（β-δ，β+δ)上的一个压缩映像，于是我们可以得到如下结论：
由此可见，牛顿迭代法的局部收敛性较强，所以只有初值充分地接近，才能确保所迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加能够使该序列收敛的充分条件，
上式可以化为以下几种情况：
其中①保证了零点的存在性；②保证了函数的单调性，同时也保证了在区间[a，b]内有唯一的零点；③保证函数的凹凸不会改变，④与③保证了每一次的迭代生成的值都在区间[a，b]之中；反映到图像上如下：
若选取初始值不满足上述条件时，会出现越迭代越远甚至死循环的情况，比如下图这些情况：
介绍完牛顿法的性质和原理，那么我们能够用它来做些什么呢？即前面说到可以用来进行方程的求解。假设给定正数a，建立如下关系式：
则f(x)=0的正数解就是其算术平方根。那么用牛顿迭代公式可得：
由于当x＞0时，f'(x)=2x＞0，f''(x)=2＞0，故由收敛定理可知，对于任意满足条件x₀>√a的初始近似值，由选代公式所产生的序列必定收敛于√a。
下面我们使用程序(TypeScript)来进行开平方运算：
对于其他n次方的开方运算与上述类似，牛顿法在数学分析中使用非常广泛，在此不再一一介绍，喜欢其他关于数学与程序方面的小伙伴可以留言加关注，之后我将会进行讲解。我是童话君，小伙伴们拜拜～～～
