作者｜曹亮吉
来源｜选自《涨本事的数学密码书》之《藏在旅行中的数学》分册，好玩的数学数学获授权转载。
***数字、东西大不同？
第一次到印度及尼泊尔地区旅行，我就注意到他们的汽车车牌，有的用我们熟悉的***数字，有的则用另一种数字；我猜应该是梵文数字，它是***数字的前身。幸好有的车挂两个车牌，一左一右，一是***数字，一是梵文数字。经过几次的做笔记，几次的核对，不久我就有了两种数字的对照，如下表中一、三两行所示：回家后查了资料，大致了解了***数字的历史。印度在公元前三世纪的阿育王时代，就有了1至9的婆罗门数字（表中的第四行），后来逐渐演变成梵文数字。不过依据现有文献，代表零的符号，要迟至九世纪才出现在瓜廖尔（Gwalior）地方小庙的墙上。瓜廖尔位于以泰姬陵出名的阿格拉（Agra）正南方约100km的地方。一般旅客会到那里，是去看雄伟的瓜廖尔城堡，及堡内富丽堂皇的庙宇与宫殿。大概很少人会去注意那个小庙及那个小小的0。公元七世纪***人兴起，到九世纪时，吸收了印度（梵文）数字，逐渐发展成东***数字（前面表中第二行）及西***数字两种写法。西***数字再传到欧洲，就是现在所说的***数字。东***数字现在仍然流行于埃及、叙利亚、***、波斯等地区，你可在这些地区的机场看到东、西***数字的并列使用，来验证东***数字的写法。（伊朗的儿童电影《天堂的孩子》中，参加马拉松赛跑的小朋友，胸前的号码布条上所写的就是东***数字。）从婆罗门数字到***数字，我们可以观察其演变。有些演变有迹可循，譬如1、2、3；有些像5的变化，就看不出所以然。***数字还会演变吗？我猜不会，因为现在计算机通行全世界，这些数字写法已经标准化了；我相信手写的变体4及7逐渐会消失。不过从表中，我们看出最特别的是婆罗门数字没有0，梵文数字才有0，这是***数字能够征服世界的秘密所在。想想看，没有0会怎么样？102要写成为12，120的写法也一样，两者连同12就分辨不出来。也许102该写成为12，1与2之间空一格；而120该写成12，后面空一格，传统的筹算记法就是如此（∣∣∣或∣＝）。不过空几格不容易写清楚、看清楚，于是中文就有了位名：一百二（102）或一百二十（120）。没有0，就要生出十、百等位名，才能解决问题。计算时，幸而有位置定值的筹算或算盘，才不会受到位名的干扰。欧洲人原来用的记数系统也都需要位名的帮忙（计算时则用类似于算盘的算板）。有了***数字，用十个符号就能写下任何的数目，而且可以直接用来计算。有人说0是数学中最伟大的发明，它原本代表没有，但它在位值表法的系统中，往往无中生有，确切表示出数目来。***数字通行全世界，让我们出门在外买东西杀价，不怕弄不清楚：用***数字笔谈可也。野兽的房间旅行团来到非洲津巴布韦维多利亚市，准备观赏维多利亚瀑布及邻国博茨瓦纳的丘比（Chobe）国家公园。在象丘饭店（ElephantHillsHotel）里，领队依例让团员自选房间钥匙，有对夫妇很高兴抢到了666号房间的钥匙──六六大顺，六六六大大顺了！到了六楼，从电梯旁的房间开始，660、661……665，再隔壁一间，奇怪了，居然是665A，再隔壁一间是667。666在哪里啊？回头找柜台，柜台说665A就是666，但说不出为什么。《圣经·启示录》13:18节说666是“野兽数”，聪明的人可算出谁有“野兽数”，就知道谁是那头害人的野兽。我知道在基督教的世界里，666成了邪恶的数目，但房间号码避开不用，倒是开了眼界。古代的希腊借用字母来表数目：第一个到第九个字母依序表1到9；第十到第十八字母依序表10、20到90；第十九到第二十七字母依序表100、200到900。在这个系统中，至多用三个字母就可以表1到999的任一个数目。如果要表1000，则在表1之字母a的前面加一逗点成“,α”，以此类推。希腊原有24个字母，再借用三个外来的字母ς、Ϙ、ϡ。字母、发音及相应数目如表所示：（希腊字母无法正常显示）拉丁的字母就是从希腊字母演变来的，所以英文取希腊头两个字母，而称字母为alphabet。西方数学源自希腊，所以常用希腊字母作为数学符号。“阿门”（Amen）的希腊文为αμην，这4个字母各表1、40、8、50，相加得99，所以希腊祈祷文的最后会写上代表99的两个字母ϙθ。把一个人名字的字母，改成相应的数目再加起来，就是这个人的“数目”。占卜者可用每个人的“数目”来预卜其前途。这种想法还传到其他地方，成了西方的一种“术数”。譬如两个人决斗，可先算这两个人的“数目”，譬如各得503及718，然后算其9余数，各为8及7，那么9余数大者决斗会赢。一个人的“数目”如果是“野兽数”666，他就是野兽了。那么《圣经·启示录》13:18节所指的野兽是谁呢？当然，一再尝试，可让很多人现形，其中最有名的是罗马皇帝尼禄。这是犹太人把尼禄皇帝（CaesarNero）用希伯来字母写出来后，依据字母换数目，再相加所得的结果。用拉丁文、希腊文，尼禄不是野兽，但杀害犹太人的尼禄，用了希伯来文就算出了真面目。数本来是用来数东西的多少，或表示量的多寡，但东西文化都一样，会把数神秘化，而衍生了种种的“术数”。到维多利亚瀑布，可顺道过边界，到博茨瓦纳的丘比国家公园，近距离看象群。解读罗马数字
有些大建筑在其墙面上会留下建造的年代。在欧美通常用公元年代，有的用***数字，有的用罗马数字来表示。所以看得懂罗马数字，在欧美旅行会增加一些乐趣。
不出国，偶尔能看到罗马数字的地方，是有些大钟的钟面上。我们就从这种钟面上的1至12，I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII、IX、X、XI、XII，来开始认识罗马数字。
1是I，2是两个I：II，3是三个I：III。4照理说应该是四个I，但却写成IV，它的意义从5（V）与6（VI）就可看得出来：显然5用了一个新的字母V来代表，6（VI）当然就是5+1了。那么4（IV）就可以解释成5-1。相对于I摆在V的右边表5+1（加法原理），I摆在V的左边就是5-1（减法原理），如此一来VII表7，VIII表8就很自然，而认定新出现的字母X表10，则IX表9，XI表11，XII表12也就理所当然。
罗马数字以L表50，C表100，D表500，M表1000，加上已经知道的I表1，V表5，X表10，再用上述的加法原理及减法原理，则用这些字母就可表示4000以下的数目了。
那么4000怎么表示？引用前面的原理，就先要有一个字母表5000。但罗马人没用一个字母表5000，而是用MMMMM来表示；当然4000就用MMMM表示了。简单说，有多少个千，就用多少个M来表示。大概罗马人很少用到5000以上的大数目吧！
建筑上有MCMLX，表示它是1960年建造的。可不可以把MC看成1100，加上MLX（1060），就是2160？不可以，因为C在第二个M的左边，而C比M小，所以就表示M-C，就是900。
用希腊字母表数目，字母的顺序是无关紧要的，代价是要用较多的字母。用罗马字母表数目，所用的字母较少，但顺序就得注意点。用***数字，顺序变成绝对重要，因此用十个数字符号，就可表任何数目。这十个数字中，0最重要了。古希腊或罗马都没有代表0的数字符号，60就用LX表示，601就用DCI表示。古代的中国也没有0，60就用“六十”表示，601就用“六百一”表示；“六百一”不是610，“六百（一）十”才是610。
罗马数字与***数字不同，不是位置定值的，因此数目之间的四则运算就无法有效进行。譬如两数相乘，你如果将乘数与被乘数的数字字母成对相乘，其后并不能把各乘积就相加，因为表一个数时，字母之间有时用的是减法。
罗马人虽然用字母的组合表数目，但做四则运算时，则用算板。算板上画着几条平行的直线，就像五线谱那样：第一线是表1的位置，第一间是表5的位置，第二线是10，第二间是50，以此类推。将4颗石头摆在第一线上就代表4；第一间放着1颗石头就代表5，若再加进第2颗石头，5×2得10，可把这两颗石头拿掉，代之以1颗石头放在第二线上。
古老的大钟面常用罗马数字。此为瑞士伯尔尼市区内的牢狱塔。
算板上的摆法与算法，其实和算盘很类似。两者数目的表法其实是***式的位置定值法（只是多了5、50等辅助值），而不是罗马式的。位置定值法所需表空位的0，算板（或算盘）只在相应的位置不摆石头就好了。
罗马人的记数法和算术的计算无关，而***的记与算则是合二为一的。西方人一开始没有马上接受***数字，不过到底记与算合一是非常方便的，所以***数字终于征服了西方人，乃至全世界的人。
***数字是排列式的，罗马数字是半组合、半排列的，希腊数字是组合式的，于是，排列征服了组合。
不过罗马数字还是挣扎着留在建筑的墙面上、大钟的钟面上，因为人有怀旧的心理，就像家里挂着甲骨文的字帖那样。
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